Свойства сложения и вычитания

• Свойства сложения
• Переместительное свойство сложения
• Сочетательное свойство сложения
• Свойство неизменности равенства
• Свойство сложения с нулем
• Свойства вычитания
• Свойства вычитания нуля
• Свойство вычитания суммы из числа
• Свойство вычитания числа из суммы
• Увеличение компонентов вычитания на одинаковое число
• Уменьшение компонентов вычитания на одинаковое число
• Увеличение и уменьшение вычитаемого
• Свойство неизменности равенства

Свойства сложения

Переместительное свойство сложения

Как вы думаете, изменится ли сумма, если поменять местами слагаемые?

Попробуем взять пример чуть сложнее. Найдите результат сложения 27 + 13 и 13 + 27.

27 + 13 = … 13 + 27= …

В каждом из этих случаев сумма будет равна 40. В каком бы порядке вы не брали слагаемые — их сумма не изменится. Переместительное свойство сложения гарантирует, что места слагаемых не влияют на сумму. Это свойство сложения такое важное, что иногда его называют переместительный закон.

Сочетательное свойство сложения

Иногда нам необходимо сложить три числа или больше. Сочетательное свойство сложения гарантирует, что сочетать (группировать) слагаемые можно в любой последовательности, и каждый раз вы получите одинаковый результат.

Пример. Выполним сложение трех чисел двумя способами.

7 + 6 + 4

Сгруппируем в скобки числа, которые будем складывать в первую очередь.

(7 + 6) + 4 = 13 + 4 = 17

Теперь изменим порядок выполнения сложения вот так:

7 + (6 + 4) = 7 + 10 = 17.

Как вы видите, и в первом, и во втором случае сумма получилась одинаковая. Это правило работает не только с числами 7, 6 и 4, а с любыми числами. Применяйте сочетательное свойство при сложении чисел и группируйте их так, как вам удобнее.

(a + b) + c = a + (b + c)

Свойство неизменности равенства

Если к двум частям равенства мы прибавим одно и то же число, то равенство остается неизменным. Так как каждая часть равенства представляет одно и то же число, то любое равнозначное увеличение каждой стороны равенства не повлияет на равенство.

a = b

a + c = b + c

Свойство сложения с нулем

Вспомним, что нуль — это целое число, но оно не относится к натуральным числам, так как обозначает пустоту. Как изменится число, если к нему добавить пустоту? Добавление к любому числу ноля не изменяет это число.

Пример: 8 + 0 = 8;   0 + 172 = 172;   2 405 392 + 0 = 2 405 392.

0 + a = a

Применим переместительный закон сложения и получим более полную формулу:

a + 0 = 0 + a = a

Запомни! Вычитание не обладает свойствами сложения!

Свойства вычитания

Вычитание — одно из четырех основных арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление). По своему смыслу вычитание — это действие противоположное сложению. Поэтому вычитание имеет главное свойство: если сложить разность (результат вычитания) с вычитаемым, то получим уменьшаемое.

а − b = c

c + b = a

Для вычитания двух натуральных чисел необходимо, чтобы уменьшаемое число было больше вычитаемого числа. Если это не так, то вычитание невозможно, так как результат не будет натуральным числом.

Вычитание не обладает переместительным свойством. Мы не можем поменять местами уменьшаемое и вычитаемое, потому что получатся разные ответы.

Вычитание не обладает сочетательным свойством. Поэтому при вычитании более двух чисел порядок, в котором идут числа, имеет большое значение.

Свойства вычитания нуля

Если из числа вычесть нуль, ничего не изменится, получится это же число.

a − 0 = a

Разность двух равных чисел будет всегда равна нулю.

a − a = 0

Свойство вычитания суммы из числа

Если нужно вычесть сумму из числа, можно последовательно вычесть первое, затем второе слагаемое из этого числа.

a − (b + c) = a − b − c

Пример. Найдем значение выражения: 173 − (73 + 89).

Тот, кто не знает свойство вычитания суммы из числа будет решать по порядку:

173 − (73 + 89)=

1. 73 + 89 = 171

2. 173 − 171 = 2.

А теперь смотрите, насколько легче решить пример, применяя свойство вычитания суммы из числа:

173 − (73 + 89) = 173 − 73 − 89 = 100 − 89 = 2

Свойство вычитания числа из суммы

Если нужно вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.

(a + b) - c = (a - c) + b (если a > c или а = с)

(a + b) - c = (b - c) + a (если b > c или b = с)

Увеличение компонентов вычитания на одинаковое число

Если увеличить уменьшаемое и вычитаемое на одно и то же число, то результат вычитания не изменится.

8 − 3 = 5

(8 + 2) − (3 + 2) = 5

Уменьшение компонентов вычитания на одинаковое число

Если мы вычтем одно и то же число из уменьшаемого и вычитаемого, то результат вычитания не изменится.

8 − 3 = 5

(8 − 2) − (3 − 2) = 5

Увеличение и уменьшение вычитаемого

Если увеличить вычитаемое на какое-то число, то разность уменьшится на это же число.

8 − 3 = 5

8 − (3 + 2) = 3 = (5 − 2)

Если мы уменьшим вычитаемое на какое-то число, разность увеличивается на это же число.

8 − 3 = 5

8 − (3 − 2) = 7 = (5 + 2)

Обобщим вышесказанное: если увеличить или уменьшить вычитаемое на какое-то число, то разность уменьшится или увеличится на это же число.

Свойство неизменности равенства

Если из двух частей равенства вычесть одно и то же число, то равенство остается неизменным. Так как каждая часть равенства представляет одно и то же число, то любое равнозначное уменьшение каждой стороны равенства не повлияет на равенство.

a = b

a − c = b − c