Натуральные числа

Откуда пришли цифры

С древних времен человек изобрел способы подсчета предметов. Около 2000 лет назад римляне начали для подсчета использовать некоторые заглавные буквы латинского алфавита:

Запись чисел с помощью этих букв называется римской нумерацией, а цифры записанные таким образом называют римскими цифрами. Римская нумерация удобна для записи небольших чисел. Чаще всего ее используют при записи исторических дат, в оглавлениях книг, в часах.

Арабы использовали цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Благодаря торговле с Индией они узнали, что там используют цифру ноль, которая обозначает «пустой» и тоже включили его в свою систему счисления. Для обозначения чисел мы используем арабские цифры — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Натуральные числа

Множество натуральных чисел обозначается буквой «N». Количество натуральных чисел бесконечно, потому что всегда можно добавить цифру и получить еще одно число от числа которое было бы больше всех. Какое натуральное число самое маленькое? Вспомните, что 0 — это обозначение пустоты, значит наименьшее натуральное число — 1.

Натуральные числа, записанные от меньшего к большему образуют натуральный ряд чисел. В натуральном ряду каждое следующее число на единицу больше предыдущего, например: 14, 15,16,17 и т.д.

Десятичная система нумерации чисел

Существуют различные системы счисления, в которых используются цифры, элементы, символы или цифры. Сегодня мы поговорим о системе счисления, которую мы используем — о десятичной системе счисления.

Наша система нумерации — десятичная, потому что мы используем 10 цифр для построения любого числа. Числа мы делим на классы и разряды, которые кратны 10: единицы, десятки, сотни, тысячи. Одна единица любого разряда эквивалентна десяти единицам ближайшего низшего разряда и наоборот.

1 × 10 = 10

10 × 10 = 100

100 × 10 = 1000

Десятичная система счисления удобна и применялась с древних времен, потому что человек всегда использовал для подсчета 10 пальцев рук.

Если в числе нет разрядов единиц, его место занимает цифра 0.

Система нумерации натуральных чисел является позиционной, так как значение числа зависит от позиции цифр в его записи. В записи натуральных чисел важное значение имеет разделение на классы и разряды.

Простые и составные натуральные числа

Некоторые числа можно записать в виде произведения других, то есть их можно и разделить. В зависимости от того, сколько делителей у числа, оно будет простым или составным натуральным числом.

Число 1 – не относится ни к простым, ни к составным числам.

Числа 2, 3, 5, 7, 11, 17 имеют только два делителя – единицу и самого себя. Такие числа называются простыми.

Простое натуральное число имеет только два делителя: оно делится на 1 и на самого себя.

Натуральное число, у которого больше двух делителей называется составным. Например:

8 делится на себя, на 1, на 2, на 4 — это составное натуральное число.

4 делится на себя, на 1, на 2 — это составное натуральное число.

12 делится на себя, на 1, на 2, на 3, на 4, на 6 — это составное натуральное число.

Составное натуральное число имеет больше двух делителей.

Натуральное число, которое больше 9 можно записать в виде суммы разрядных слагаемых. Например:

672 = 600 + 70 + 2

3285 = 3000 + 200 + 80 + 5

Задания для самопроверки

Запиши все натуральные числа, которые:

а) меньше 8;

б) больше 256 и меньше 262;

в) больше 7298 и меньше 7232.

Выбери строку, в которой не все числа натуральные:

а) 324, 275, 404, 12;

б) 21, 9, 0, 516, 44;

в) 999, 1000, 50505, 10.

Укажи строку, в которой записаны только простые натуральные числа:

а) 1, 3, 5, 13;

б) 7, 5, 11, 17;

в) 12, 14, 16, 18.

Укажи строку, в которой записаны только составные натуральные числа:

а) 32, 17, 40, 12;

б) 21, 9, 20, 56;

в) 1, 10, 100, 1000.

Решето Эратосфена

Греческий математик Эратосфен (3 век до н.э.) разработал быстрый способ получения всех простых чисел до 100. Это таблица, которая называется решето Эратосфена. Сейчас вы увидите, как она работает.

Сначала в таблицу были записаны числа от 1 до 100. Затем ученый закрасил число 1, которое не является простым числом. Далее он закрасил числа, кратные 2 за исключением числа 2, которое, как мы знаем, имеет только два делителя, поэтому оно простое. Затем Эратосфен закрасил числа кратные 3, кратные 5и кратные 7.

В итоге незакрашенными остались все простые числа от 1 до 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 и 97.