Целые числа

Что такое целые числа

Целые числа — это все положительные, все отрицательные числа и ноль. Никаких дробных частей в целых числах не бывает!

Например, к целым будут относиться числа: -12, -381, -5, 0, 32, 164, 978.

Как вы помните, в математике числа, которые мы используем для счета называются натуральными. Таким образом, можно сказать, что целые числа — это натуральные числа, ноль и отрицательные числа.

Выведем основные заключения:

• Целое число может быть не только положительным. 
• Число 0 – целое число.
• Целое число не может включать дробную часть. Значит, такие числа, как 1½, 3 ¼ и 7 ⅚, не являются целыми числами, а 1, 3 и 7 — целыми.
• Целое число не может включать десятичный элемент. Это означает, что такие числа как 3,5 или 9,12 не являются целыми, а 3 или 9 — целые числа.

Как обозначаются целые числа

Множество целых чисел обозначается буквой «Z».

Z = {∞ … -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … ∞}

Множество целых чисел бесконечно, поэтому нельзя определить, сколько всего существует целых чисел. По этой же причине нельзя назвать наибольшее целое число либо наименьшее целое число.

Положительные и отрицательные целые числа

Множество целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Рассмотрите числовой луч: справа от нуля находятся положительные числа, а слева — отрицательные числа.

Отрицательные целые числа — это целые числа, которые меньше нуля. Записывают отрицательные числа всегда со знаком минус.
Например: - 12, - 135, - 74, - 3009.

Положительные целые числа — это целые числа, которые больше нуля. Записывают положительные числа без какого-то знака.
Например: 35, 14, 1004, 7286.

Свойства целых чисел при сложении и умножении

Закономерности при выполнении арифметических действий с целыми числами определяют основные свойства целых чисел. Все свойства сложения и умножения натуральных чисел будут подходить и для целых чисел.

Сумма и произведение двух целых чисел всегда будет целым числом. Например, два целых числа 2 и 6.

2 + 6 = 8 — целое число;

2 × 6 = 12 — целое число.

Переместительное свойство

Сумма или произведение целых чисел будут одинаковы, даже если порядок чисел поменять местами.

a + b = b + a

2 + 6 = 6 + 2

 8 = 8

a ⋅ b = b ⋅ a

2 ⋅ 6 = 6 ⋅ 2

12 = 12

Это свойство работает независимо от знака.

( - 2) + 6 = 6 + ( - 2)

4 = 4

2 ⋅ ( - 6) = ( - 6) ⋅ 2

 - 12 = - 12.

Сочетательное свойство

Сложение целого числа с суммой двух целых чисел равно сложению суммы двух первых чисел с третьим.

a + (b + c) = (a + b) + c

5 + (2 + 3) = (5 + 2) + 3

Умножение целого числа на произведение двух целых чисел равно произведению суммы двух первых чисел с третьим.

a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c

5 ⋅ (2 ⋅ 3) = (5 ⋅ 2) ⋅ 3

Умножение целого числа на сумму двух целых чисел равно сумме произведений первого со вторым и первого с третьим числом.

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

5 ⋅ (2 + 3) = 5 ⋅ 2 + 5 ⋅ 3

25 = 25

При умножении целого числа на ноль результат будет всегда равен нулю.

a ⋅ 0 = 0 или - a ⋅ 0 = 0

5 ⋅ 0 = 0 или - 5 ⋅ 0 = 0

Свойства целых чисел при вычитании

Разность равных целых чисел будет всегда равна нулю.

a - a = 0

Распределительное свойство

Вычитание суммы двух целых чисел из другого целого числа.

a - (b + c) = (a - b) - c

Вычитание целого числа из суммы двух целых чисел.

(a + b) - c = (a - с) + b = a + (b - c)

Сочетательное свойство

Умножение целого числа на разность двух целых чисел равно разности произведений первого и второго числа с первым и третьим числом.

a ⋅ (b - c) = a ⋅ b - a ⋅ c

5 ⋅ (6 - 4) = 5 ⋅ 6 - 5 ⋅ 4

10 = 10