Як розв’язувати логічні й  математичні задачі

Розв’язуємо логічні задачі

Щоб навчитися розв’язувати типові логічні задачі, прості й нестандартні математичні задачі, важливо знати основні прийоми та методи їх розв’язання. Адже розв’язати одну й ту ж задачу та прийти до правильної відповіді в багатьох випадках можна різними способами.

Знання й розуміння різних методів розв’язання допоможе визначити, який спосіб підійде краще в кожному конкретному випадку, щоб вибрати найшвидший та найпростіший шлях отримання відповіді.

До «класичних» логічних задач належать текстові задачі, мета розв’язання яких полягає в розпізнаванні об’єктів або розташуванні їх у певному порядку відповідно до заданих умов.

Складнішими й цікавішими типами завдань є задачі, в яких окремі твердження є істинними, а інші хибними. Задачі на переміщення, перекладання, зважування, переливання — найяскравіші приклади широкого ряду нестандартних задач на логіку.

Основні методи розв’язання логічних задач

• метод міркувань;
• за допомогою таблиць істинності;
• метод блок-схем;
• засобами алгебри логіки (алгебри висловлювань);
• графічний (зокрема, «дерево логічних умов», метод кіл Ейлера);
• метод математичного більярда.

Розглянемо докладніше з прикладами три популярні способи розв’язання логічних задач, які ми рекомендуємо використовувати в початковій школі (дітям 6-12 років):

• метод послідовних міркувань;
• різновид методу міркувань — «із кінця»;
• табличний спосіб.

Метод послідовних міркувань

Найпростіший спосіб вирішення нескладних задач полягає в послідовних міркуваннях з використанням усіх відомих умов. Висновки з тверджень, які є умовами задачі, поступово приводять до відповіді на поставлене запитання.

На столі лежать Блакитний, Зелений, Коричневий і Оранжевий олівці.

Третім лежить олівець, у назві якого найбільше літер. Блакитний олівець лежить між Коричневим і Оранжевим.

Розклади олівці в описаному порядку.

Міркуємо. Послідовно використовуємо умови задачі для формулювання висновків про позицію, на якій повинен лежати кожен наступний олівець.

• Найбільше літер у слові «коричневий», тож він лежить третім.
• Відомо, що блакитний олівець лежить між коричневим і оранжевим. Праворуч від коричневого є тільки одна позиція, тож розташувати блакитний між коричневим і іншим олівцем можливо тільки зліва від коричневого.
• Наступний висновок на основі попереднього: блакитний олівець лежить на другій позиції, а оранжевий — на першій.
• Для зеленого олівця залишилася остання позиція — він лежить четвертим.

Метод «із кінця»

Такий спосіб розв’язання є різновидом методу міркувань і чудово підходить для задач, у яких нам відомий результат здійснення певних дій, а питання полягає у відновленні початкової картини.

Бабуся спекла для трьох онуків рогалики й залишила їх на столі. Миколка забіг перекусити першим. Порахував усі рогалики, взяв свою частку й утік.
Ганнуся зайшла до будинку пізніше. Вона не знала, що Миколка вже взяв рогалики, порахувала їх і, розділивши на трьох, взяла свою частку.
Третім прийшов Гриць, який теж розділив залишок випічки на трьох і взяв свою частку.
На столі залишилося 8 рогаликів.

Скільки рогаликів із восьми, що залишилися, повинен з’їсти кожен, щоб у результаті всі з’їли порівну?

Починаємо міркування «з кінця».
Гриць залишив для Ганнусі й Миколки 8 рогаликів (кожному по 4). Виходить, і сам він з’їв 4 рогалики: 8 + 4 = 12.
Ганнуся залишила для братів 12 рогаликів (кожному по 6). Значить, і сама вона з’їла 6 штук: 12 + 6 = 18.
Миколка залишив дітям 18 рогаликів. Значить, сам з’їв 9: 18 + 9 = 27.

Бабуся поклала на стіл 27 рогаликів, розраховуючи, що кожному дістанеться по 9 штук. Оскільки Миколка вже з’їв свою частку, Ганнуся повинна з’їсти 3, а Гриць — 5 рогаликів.

Розв’язання логічних задач за допомогою таблиць істинності

Суть методу полягає в фіксації умов задачі й отриманих результатів міркувань у спеціально складених під задачу таблицях. Залежно від того, істинне висловлювання чи хибне, відповідні елементи таблиці заповнюються знаками «+» і «-» або «1» і «0».

Три спортсмени (червоний, синій і зелений) грали в баскетбол.
Коли м’яч опинився в кошику, червоний вигукнув: «М’яч закинув синій».
Синій заперечив: «М’яч закинув зелений».
Зелений сказав: «Я не закидував».

Хто закинув м’яч, якщо тільки один із трьох сказав неправду?

Спочатку складають таблицю: зліва записують усі твердження, які містяться в умові, а згори — можливі варіанти відповіді.

Потім таблицю послідовно заповнюють: правильні твердження відмічають знаком «+», а хибні — знаком «-».

Розглянемо перший варіант відповіді («м’яч закинув червоний»), проаналізуємо твердження, записані зліва, і заповнимо перший стовпчик.
Виходячи з нашого припущення («м’яч закинув червоний»), твердження «м’яч закинув синій» — хибне. Ставимо в комірці «-».
Твердження «м’яч закинув зелений» також хибне. Заповнюємо комірку знаком «-».
Твердження зеленого «Я не закидував» – істина. Ставимо в комірці «+».

Розглянемо другий варіант відповіді (припустімо, що м’яч закинув зелений) і заповнимо другий стовпчик.
Твердження «м’яч закинув синій» — хибне. Ставимо в комірці «-».
Твердження «м’яч закинув зелений» — істина. Заповнюємо комірку знаком «+».
Твердження зеленого «Я не закидував» – брехня. Ставимо в комірці «-».

І, нарешті, третій варіант: припустімо, що «м’яч закинув синій».
Тоді твердження «м’яч закинув синій» — істина. Ставимо в комірці «+».
Твердження «м’яч закинув зелений» — брехня. Заповнюємо комірку знаком «-». Твердження зеленого «Я не закидував» – істина. Ставимо в комірці «+».

Оскільки за умовою лише один із трьох хлопців сказав неправду, у заповненій таблиці вибираємо такий варіант відповіді, де буде лише одне хибне твердження (в стовпчику один знак «-»). Підходить третій стовпчик.

Значить, правильна відповідь – м’яч закинув синій.

Метод блок-схем

Метод блок-схем вважається оптимальним варіантом для розв’язання задач на зважування й на переливання рідин. Альтернативний спосіб розв’язання цього типу задач — метод перебору варіантів — не завжди є оптимальним, та й назвати його системним досить складно.

• графічно (за допомогою блок-схеми) описуємо послідовність виконання операцій;
• визначаємо порядок їх виконання;
• у таблиці фіксуємо поточні стани.

Детальніше про цей та інші способи розв’язання логічних задач із прикладами й описом ходу розв’язання ми розповідаємо в повному Курсі ЛогікЛайк із розвитку логічного мислення.

Відгадуйте найцікавіші загадки на логіку, зібрані спеціально для постійних читачів нашого блогу й учнів LogicLike, розв’язуйте логічні задачі онлайн разом із тисячами дітей і дорослих!